Grunnen til at en moderne bil er breddfull av fysikk og matematikk er at alt som skal tåle dynamiske krefter må beregnes. Eksakt. Mye handler om Newton. Og herr Euler … Dette må fabrikken fikse om bilen skal klare krasjtestene hos Euro NCAP. Og sikre deg og dine.
Bildet øverst: Volvo viser her hvordan et moderne, kollisjonssikkert karosseri er bygget – og beregnet.
Av Stein Bekkevold
Alt rundt oss handler om krefter, hvordan vi opplever dem og tar hensyn til dem. Og hvordan de strømmer gjennom alt vi lager. For å se – og begripe – nok av dette må man ha matte i hodet, en forståelse av realfag. Skoleverket sier at slik forståelse blir mer og mer sjeldent hos elevene. Kanskje noe feil med læreplanene? Og/eller lærerutdanningen?
Uansett: I gamle dager fantes kilogramkraften. Den tallfestet en påkjenning, en last. I dag har vi ikke den, fordi den var basert på G, gravitasjonen. G varierer etter hvor på kloden du er, og i verdensrommet – så når vi skulle utvikle avanserte kampfly, og andre skulle finstyre romfartøyer og missiler, holdt G ikke lenger mål. Verden måtte finne en universell konstant.
Disse bildene er også fra Volvo og viser hvordan alt er formet for å ta opp støtkreftene, med diverse konstruksjoner i aksene x, y og z …
Newton
Redningen ble Newtons formel: F = m ganger a. Kraft er masse ganger akselerasjon. Lurt! Her står m i kg og a i m/s2 og derfor: F = 1 kg ganger 1 m/s2 = 1kg m/s2 – og det kalte de 1 Newton (N).
Poenget var jo å finne en G-uavhengig konstant som eksakt beskrev et kilogram. Et kilogram står nå i forhold til Planck´s konstant. Dermed var det definert. Forholdet ble at et kp/kilopond (trykket av et kg mot underlaget) er: Et kp er 9,81 N. Der har du sammenhengen mellom «ny» Newton og gammel kilogramkraft.
3D
Alle laster strømmer i tre dimensjoner (x, y og z) og er krevende å forutse og å håndtere – de vil helst stikke av. Du må se for deg hvordan de strømmer for å kunne styre dem dit du vil ha dem – og fange dem opp – samtidig som du bygger sakene sterke nok, men bare akkurat.Altfor sterkt blir altfor tungt.
Mye av dette er fysikk – og matte. Å forutse laststrømmene er vrient, fordi de ikke bare går rett fra A til B – men stikker innom sideveier og hindre, der de forstyrres eller tas opp – og litt blir til varmeenergi.
En bjelke eller vange – av pressede plater (se bildene) – må tåle bøy- og vrimomenter, og gjentas dette for ofte – uten forholdsregler – får vi utmatting og brudd – knekking, som av mange kalles Euler-kollaps etter geniet L. Euler som innså dette alt i 1760-årene …
Om alt står stille er kollaps kanskje til å holde ut. men om saken kjører fort og dessuten kanskje flyr, er utgangen mesen alltid tragisk.
Bildet viser en krasjtest hos Euro NCAP – denne koreaneren må ha vært temmelig svak i nesa. …
BIW-profiler
Se på bildet av Volvo-karosseriet – body in white (BIW): Mye av dette er hule bjelker, profiler. De lages oftest av metall og gjør bilen stabil – og fanger opp kollisjonskrefter, fra alle kanter. For ikke å sløse med dyrt metall og samtidig sørge for at bil og innhold overlever krasj må vi finne ut NØYAKTIG hvor kreftene går, og ta hensyn til dette – men også tenke på hvor store reaksjonene er, og hvor de kreftene går – for å fange dem opp. Så stille og pent som mulig. På millisekunder … de fanges opp i bjelketverrsnittene i noe som kalles Det annet arealmoment – med viktige tredje potenser. Se bilde 2.
Evnen til å fange opp trykk uten kollaps vokser med tredje potens av dimensjonene. Og mens løsningen skal være sterk, må den være lett, enda mer hodepine. Vi må også tenke på utmatting og sprekkvekst …
Forenklet ser vi litt av dette om vi gransker bøypåkjenninger i bjelke. Der starter hodepinen for ingeniørstudenter og alt forsterkes straks bjelken ikke lenger er buet – og har variert tverrsnitt – det ser du på karosseribildene. Fargene viser ulike materialkvaliteter (og dimensjoner) som gjør bilen kollisjonssikker. Du ser ulike støtopptaks-konstruksjoner – alt etter hvilken bøy- og støtkraft (i mega-Newton!) de skal ta opp.
Og naturen er smart, den kan sin fysikk: Fuglebein og siv/bambus er hule med det bærende materialet plassert et godt stykke ut fra rørets/beinets sentrum, der det gjør mest nytte. Mor natur har jo hatt hundrevis av millioner år på å fikse dette.
Tegningen som illustrerer dosert sving er fra Statens Vegvesen.
Hittil har det stemt
Så det er elementets/bjelkens tverrsnitt som bestemmer hvor mye trykk (og bøy) den tar opp, sammen med materialets E-modul. Dette utgjør motstandsevnen, altså basert på *Det annet arealmoment. Og Newton sa: F = M ganger v2 delt på 2. Om du frontalkrasjer i 20 m/s (72 km/t) og bilen veier 2000 kg, blir det 2000 ganger 400 delt på to = 800000/2 = 400.000 N. Og alt dette skal bremses opp i noen kvadratmillimeter metall. I matte ses dette arealmomentet som integral A over y2 dA. Om noen lurer …
Når alt i buret og ellers er databeregnet gjentatte ganger og kryssjekket, bygger de (som Volvo) prototyper og krasjer dem i sitt testsenter. Så starter seriebygging og en ferdig bil eller to sendes Brüssel for at Euro NCAP skal krasje med enorm kraft og avsi dommen. Som Volvo håper skal stemme med deres egne tall. Hittil har alt stemt.
Matte
Noe av ingeniørmatten ser du i det store diagrammet. Det meste kjøres i datamaskiner. Men du må like fullt vite hva du mater inn. Og du må kunne nok fysikk og matte til å vurdere det maskinen spytter ut. Så kan du be den tegne karosseriet og med gilde farger vise hvilken kvalitet du må ha, og hvor. Der er altså gradert støtopptak viktig; fronten er litt mykere og tar startsmellen mens elementene inn mot – og rundt i selve buret – er noe annet og tøffere. Mange fabrikker bruker nå stål av austenitttype i nesa og tøffere martensitt inn mot buret. Krasjbildet fra EuroNCAP viser hvordan det går om beregningene var litt snaue …
Gubben: Matematiker, superstar og fysiker (bl.a.) professor Leonhard Euler, maleri ved J. E. Handmann/Kunstmuseum Basel.
Rare krefter
Når du kjører påvirker mange krefter bilen, noen kommer fra bilen selv – den er en tung masse som raser langs veien – isolert fra den med dekk og hjuloppheng – en masse på to tusen kilo på noen fjærende punkter.
Det er avfjæringen – med fjær- og demperkonstanter og fjærsvingninger (i hertz, Hz) – som avgjør komforten og hvor sikker bilen er i svinger. Gransk det som skjer i en sving – tegningen er fra Statens Vegvesen – der sentrifugalkraften drar utover, mens sentripetalkraften holder bilen igjen – med dekkfriksjon. Gummis friksjonskoeffisient er ca 0,67 på tørr asfalt og 0,53 på våt. På is? Ikke rare greiene, kanskje ca 0,15. Svinger er dessuten ofte doserte. Dosering (av latin dos = rygg) viser helling (beta) eller overhøyde. Poenget er å hindre ulykker, pluss at turen blir mer komfortabel. Jo skarpere en kurve er, og jo høyere hastighet veien tillater, desto større må doseringen være.
Fra J. Trondals gedigne formelsamling (jostein@trondal.no).
Mer matte
Formelen for sentripetalkraft er F = m ganger v2/r der F er kraften i N mens m er massen og v er hastigheten i m/s – og r er svingens radius i meter. Når vi setter inn tall ser vi hvor stor Fer – den som vil dra bilen av veien. Vi kan variere vinkel beta og koeffisientene og få et godt totalbilde. Og du har fire hjul. Hvert hjul trykker mot veien med ¼ av totalmassen – men husk vektfordelingen!
Si at du med frontmotor og forhjulsdrift har 60% av massen foran og resten bak, mens forholdet er det motsatte med hekkmotor og bakhjulsdrift. Og en elbil med to motorer har ca 50/50 i vektfordeling. Når du har regnet ut alt dette, har du et utall løsninger for F per hjul. Da må du inn med friksjonsflaten på et «standard»-sommerhjul. Og skal du kjøre på vinteren – på islagt vei – må du sjekke piggfrie vinterhjul. I gjennomsnitt har bilhjul et avtrykk på 70-80 cm2, og det ganger du med fire for å få totalen. Altså skal hele bilens bevegelige masse holdes på veien av ca 240 cm2 med varierende friksjonskoeffisient ….
Det finnes også en formel for dette, og den tar med doseringen: om du kjører en bil med sporvidde (mellom hjulsenterne) på 1,5 m og masse-senter 0,6 m over veien og dekkene har en friksjonskoeffisient my mot veien på 0,8 og svingen har radius x m mens dosseringen er ygrader blir regnestykket at største sikre fart er 11,28 ganger roten av my ganger tangenten til hellingen delt på 1 minus my – ganger tangenten; du får svaret i km/t. Puh.
Ved å mate datamaskinen med ulike x og y pluss friksjon på tørr og våt asfalt pluss på is, får vi oversikt over bilens varierende ytelser, og det minst ett år før den første prototypen kan testes. Matte i bil er lurt … og snodig.
Og nesten alt skylder vi Isaac Newton og Leonhard Euler, sin tids superstjerner
*Det 2 arealmoment I er lik bh3/12 der b er tverrsnittets bredde mens h er høyden, alt i millimeter. Det som angis er hvor stivt tverrsnittet er, medtatt materialets E-modul. Et viktig poeng er – som kan ses av formelen – at motstandsevnen øker med tredje potens av dimensjons-økningen. Derfor har for eksempel bilens indre front kraftig økte dimensjoner inn mot torpedoveggen, for å ta opp kollisjonen.
